This page is not available in English.

TSDT06 Signal theory

Föreläsningar våren 2007

Detaljerat innehåll

Denna sida kommer antagligen att förändras något under kursens gång. När en föreläsning ännu inte har varit, står här vad jag ämnar ta upp. När sedan föreläsningen har varit, kommer här att stå vad jag faktiskt tog upp.

Innehåll

• Föreläsning 1 (Introduktion och repetition)
• Föreläsning 2 (Stokastiska processer, grundläggande begrepp)
• Föreläsning 3 (Ergodicitet, LTI-filtrering, vitt brus)
• Föreläsning 4 (Polynomiella olinjäriteter)
• Föreläsning 5 (Kvantisering)
• Föreläsning 6 (Skattning och estimering)
• Föreläsning 7 (Sampling och pulsamplitudmodulering)
• Föreläsning 8 (Rekonstruktion)

Föreläsning 1, 070117

• Introduktion av kursen
  • Behovet av signalteori och modeller byggda på slumpmässighet.
  • Signaler och system kontra signalteori.
  • Kursmaterial, uppläggning och laborationer.
• Repetition stokastiska variabler
  • Varför stokastiska variabler, vad är en stokastisk variabel, sannolikhet.
  • Fördelningsfunktion och täthetsfunktion, definitioner och egenskaper, normalfördelningen.
  • Väntevärden.
  • Funktion av stokastisk variabel.
• Flerdimensionella stokastiska variabler
  • Fördelningsfunktion och täthetsfunktion.
  • Väntevärden.
  • Funktion av stokastisk variabel.
  • Oberoende kontra okorrelerade variabler.
  • Gaussiska variabler.

Föreläsning 2, 070118

• Stokastiska signaler.
  • Fördelningsfunktion, täthetsfunktion.
  • Enkla exempel.
  • Realisering och ensemble.
  • Beskrivning av den stokastiska signalen.
    • Fullständig med mångdimensionell täthets(fördelnings)funktion.
    • Ensemblemedelvärden.
      • Väntevärde.
      • Kvadratiskt medelvärde, effekt.
      • Autokorrelationsfunktion, AKF.
  • Stationaritet.
    • Svag stationaritet.
    • Strikt stationaritet.
  • Spektraltäthet och AKF.
    • Definition.
    • Invers och koppling till effekt.
    • Egenskaper hos AKF, (nödvändiga men ej tillräckliga villkor för att funktionen skall vara en akf).
    • Egenskaper hos spektraltäthet, (nödvändiga och tillräckliga villkor).
• Vitt brus
  • Definition, spektraltäthet och akf, kontinuerligt och diskret.
  • Tidskontinuerligt vitt brus är fysikaliskt orimligt, men ändå en användbar modell.
  • Följd av okorrelerade variabler +1 och -1 lika sannolika är tidsdiskret vitt brus.

Föreläsning 3, 070125

• Ergodicitet
  • Ergodicitet är "likhet" mellan tids- och ensemblemedelvärden.
  • Striktare definition av ergodicitet, limes i medel.
  • Ergodicetet map medelvärde, hur medelvärdet avspeglas i spektraltäthet.
• Linjär filtrering av stokastiska signaler (tidskontinuerliga)
  • Resultat från kretsteorin
  • Hur filtrera stok. signaler, begränsning till svagt stat. signaler.
  • Härledning av formler för medelvärde, akf och spektraltäthet för utsignalen.
  • Exempel
  • Linjär filtrering av normalfördelade stok signaler (normalförd bibehålls).
• Benämningen spektraltäthet
• Presentation av formler för filtrering av tidsdiskreta stok signaler
• Filtrering av vitt brus, Parsevals relation
• Samtidig filtrering av vitt gaussiskt brus med ortogonala filter.

Föreläsning 4, 070129

• Introduktion av icke linjära system
  • Varför behövs icke linjära system; nytta respektive störning.
  • Egenheter, bandbreddsexpansion och amplitudfördelningsberoende.
• Förenkling, enbart momentana icke linjära system behandlas här.
• En strikt stationär stokastisk signal är efter ett momentant icke linjärt system fortfarande strikt stationär, för övrigt kan man inte säga något generellt.
• Hjälpmedel
  • Sannolikhetsgenererande funktion (fouriertransformen av täthetsfunktionen)
    • Exempel på hur den sannolikhetsgenererande funktionen kan användas: E{Xⁿ} för exponentialfördelat X.
  • Bra formel;
    E{ABCD} = E{AB}E{CD}+E{AC}E{BD}+E{AD}E{BC}-2E{A}E{B}E{C}E{D},
    där A, B, C och D är normalfördelade stokastiska variabler
    • Geometrisk komihågregel.
• Hjälpmedel
  • Olinjära exempel
    • Exempel: Förstärkare med kvadratisk felterm.
    • Exempel: kvadrering av bandbegränsat brus, vikning i det tidsdiskreta fallet.
  • Prices sats; för härledning av samband mellan akf för insignal och utsignal till exempel.

Föreläsning 5, 070205

• Introduktion av avsnittet kvantisering
• Likformig kvantisering
  • införande av beteckningar och definition av kvantiseraren.
    • mättnadsgränser, antal steg och steghöjd; samband.
  • definition av kvantiseringsfelet, stokastisk variabel.
  • härledning av kvantiseringsbrusets effekt, (steghöjden)²/12.
  • kopplingen mellan effekten hos deterministisk tidsbegränsad signal och effekten hos en stokastisk variabel
  • vi önskar ett mått på kvaliteten hos kvantiseraren, SDR på utgången.
  • uppställning av uttryck på SDR, även i dB, tumregel SDR(dB)=2+6n, 2ⁿ=N är antalet nivåer.
  • överstyrning och understyrning.
• Icke likformig (olikformig) kvantisering.
  • princip, mindre steg för signaler med små amplituder.
  • kompressor+likformig kvant+expander
  • val av kompressorkurva, oberoende av insignalens amplitudfördelning, logaritmisk
  • SDR.
• Modell för kvantisering av tidsdiskret stokastisk signal.
  • Kvantiseringsfelet och insignalen (nästan) okorrelerade.
  • Kvantiseringsfelet (nästan) vit (nästan) likafördelad process.
• Kort repetition från Signaler och system:
  • DFT och IDFT.

Föreläsning 6, 070208

• Kort repetition från Signaler och system:
  • Fönstring.
• Introduktion av skattning-, estimeringsavsnittet
  • Problemställning: Vi vill skatta spektraltätheten för en process ur en ändlig del av en realisering av processen.
  • koppling till ergodicitet
• Skattningen en stokastisk variabel
• Nya begrepp
  • väntevärdesriktighet
  • bias
  • konsistenta estimat
• Skattning av medelvärde som exempel på väntevärdesriktigt och konsistent estimat.
  • beräkning av skattningens medelvärde
  • och dess varians
• Skattning av autokorrelationsfunktion
  • enligt Bartlett och enligt Blackman-Tukey
  • beräkning av skattningens kvalitet; medelvärde och varians
  • Bartlett föredras även om den inte är väntevärdesriktig
  • Sannolikheten att skattningen ger funktioner som inte är akf:er är mycket större för Blackman-Tukey än för Bartlett.
  • resultaten ofta svårtolkade tyvärr
• Skattning av spektraltäthet, periodogram.
  • härledning, kan beräknas direkt ur sekvensen, oftast beräknas akf-skattningen som inversen av periodogrammet, se upp då DFT användes (periodisk faltning)
  • kvaliteten på skattningen, inte så bra. Asymptotiskt väntevärdesriktigt, dålig varians
  • förbättring genom medelvärdesbildning av många periodogram

Föreläsning 7, 070212

• Omvandlingar, introduktion, samplaren och pulsmodulatorns funktioner
• Resultat från Signaler och system
  • Sampling av deterministisk funktion
  • Pulsmodulering av deterministisk funktion
• Sampling av stokastiska signaler
  • beräkning av medelvärde, akf och spektraltäthet
  • exempel på spektrum
  • Jämförelse med linjär filtrering
• Pulsmodulering av stokastiska signaler
  • slumpmässig start av pulserna i intervallet (0,T) måste införas för att bevara den svaga stationariteten
  • härledning av medelvärdet, akf och spektraltäthet
  • Jämförelse med linjär filtrering
• Rekonstruktion av deterministisk signal
  • tidskont till tidsdiskret till tidskont, samplingsteoremet
    Antivikningsfilter
  • tidsdiskret till tidskont till tidsdiskret, ekvivalensen med tidsdiskret filter
    krav på pulsformen (den samplade pulsen skall vara 1 i nollan och noll i alla övriga samplingspunkter
    korrektion med linjärt filter om kravet ej är uppfyllt

Föreläsning 8, 070215

• Repetition av sampling och modulering av deterministiska och stokastiska signaler.
• Rekonstruktion av stokastiska signaler
  • tidskont till tidsdiskret till tidskont
    samplingsteoremet för stokastiska signaler, utgå från kvadratiska medelfelet mellan ut och insignal
  • Rekonstruktionsfel,
    specialfall, bandbegränsning
• Rekonstruktion av tidsdiskret signal
  • problemet, använd resultat från den deterministiska genomgången att kombinationen pulsgenerator och samplare (i den ordningen) motsvarar ett tidsdiskret filter, utnyttja teorin om de linjära systemen (superformeln) och ställ upp ett uttryck på rekonstruktionsfelet
  • rekonstruktionsfelet blir noll om pulsgen. pulsform p(t) är 1 då t=0 och 0 då t=nT
• Översampling och brusformning
• Sammanfattning